В этой презентации «Множество. Элемент множества» школьники 7-го класса смогут подробно рассмотреть значение одноименных понятий в математике. После титульного листа с названием темы на 2-ом слайде приведены примеры множеств. На самом деле их может быть огромное количество, но не это главное. Данные примеры дают учащимся понять, что множество - это, в первую очередь группа схожих объектов, объединенная в одно целое, а, соответственно, и название она несет сплоченное.

слайды 1-2 (Тема презентации "Множество. Элемент множества", пример)

На третьем слайде объясняется, что множество может применяться четными, натуральными, а также дробными числами. Для каждой ситуации приведен конкретный пример. В этом же разделе с помощью иллюстрации пятиугольника разъясняется, что собой представляет элемент множества. Это наглядное изложение материала позволяет школьникам легче представить абстрактные понятия предмета.

Далее отдельный слайд посвящен множеству простых чисел. Для лучшего понимания данного материала приведено несколько примеров, в которых простые числа являются заключенными в заданном множестве. Это необходимо для того, чтобы ученик усвоил, что во множестве могут быть заключены как одно или более простых чисел, так и вовсе может и не быть ни одного простого числа в нем. В итоге разговор сводится к тому, что в математике есть еще одно понятие под названием «пустое» множество.

слайды 3-4 (примеры. определение делителя)

На следующем слайде кратко показано с помощью иллюстраций правильное обозначение множества. Оно может быть записано как в буквенной, так и в числовой форме в зависимости от заданных элементов множества.

Далее в учебной презентации следует информация о дальнейших видах множества. Оно может также применяться с целыми, натуральными и рациональными числами. В приведенных к данному слайду примерах можно легко понять, каким образом стоит считать элементы принадлежащими ко множеству или, наоборот, не принадлежащими.

слайды 5-6 (примеры)

Далее речь пойдет о свойствах множества. В процессе подачи этого материала школьникам будет доступно объяснено, в чем состоит суть такого понятия, как «характеристическое свойство множества». Для того, чтобы у школьников была возможность более точно запомнить определение этого математического явления, расшифровка его значения будет дана на слайде презентации.

После этого дается пример о кратком написании множества заданных чисел. В данном примере даны все 14 целых чисел. Кроме того, ученику объясняется, как можно описать в краткой форме то, что множество может быть больше или же меньше выходящего за его границы натурального числа.

слайды 7-8 (определение характеристических свойств, примеры, вопросы)

Поняв вышеуказанный материал, дальше школьники учатся записывать множество вместе с заданными переменными. На следующем слайде приведен уже совершенно иной пример. Он касается множества кратных чисел. В примере присутствуют 5 чисел, кратные 5-ти. А ниже них указано выражение с переменными, соответствующее этому множеству.

слайды 9-10 (определение характеристических свойств, примеры, вопросы)

Затем последний слайд презентации позволяет учащимся решить более сложную задачу . Сначала дано выражение с переменными множества С , а ниже под ним числовое выражение множества D . Суть этого задания в том , что нужно найти числовое выражение множества С с учетом того , что оба множества между собой равны , то есть обладают одними и теми же элементами множества .

После того , как учащиеся справятся с поставленной задачей , презентация урока «Множество . Элемент множества » будет завершена , и ученики смогут начать задавать вопросы по пройденному материалу . Такой вид урока станет довольно эффективным инструментом ¸ используемом в учебных программах по предмету «Математика » за счет своей простоты и наглядности .

Слайд 2

Натуральные числа и действия над ними Делимость. Простые и составные числа Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Задачки Понятие множества, пересечение и объединение множеств Одночлены и многочлены Разложение многочлена на множители Формулы сокращённого умножения Подумай и реши Задания Авторы

Слайд 3

Натуральные числа в порядке возрастания можно записать в виде последовательности 1, 2, 3, 4,… Множество всех натуральных чисел обозначается через N. Для натуральных чисел определены арифметические операции(сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в Степень(число а в степени n, аn – это результат умножения числа а на себя n раз), обратная операция к возведению в степень – извлечение корня (b = ⁿ√а, если а = bⁿ) Сложение и умножение удовлетворяют переместительному закону(закону коммутативности): a+b=b+a, a·b=b·a и сочетательному закону (закону ассоциативности): (a+b)+c=a+(b+c), (a·b) ·c=a·(b·c), а также распределительному (дистрибутивному) закону: (a+b)·c=a·c+b·c натуральные числа и действия над ними 1 2 3 4 5

Слайд 4

ДЕЛИМОСТЬ. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА. Разделить число а на число b – значит найти такое x, a: b = x, что xb = a. Если такое число существует, то говорят, что а делится на b, а число bназывается делителем числа а. На 2 (или на 5) делятся те и только те числа, последняя цифра которых выражает число, делящееся на 2 (или на 5) На 4 (или на 25) делятся те и только числа, две последние цифры которых выражают число, делящееся на 4 (или на 25) На 3 (или на 9) делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или на 9) На 11 делятся те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11 Число а, отличное от 1, называется простым, если делителями являются только единица и само число а. Число а, имеющее и другие делители, называется составным. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, например: 12 = 2 · 2 · 3 = 2²· 3.

Слайд 5

НОД и НОК Среди общих делителей чисела и b можно выбрать наибольший общий делитель НОД (a ; b). Например, НОД (45 ; 60) = 15. Если НОД (a ; b) =1, то числа а и b называются взаимно простыми. Любой общий делитель произвольных чисел а и b делит наибольший общий делитель этих чисел. Число, делящееся на число а и на число b, называется общим кратным чисел а и b. Среди общих кратных а и b можно выбрать наименьшее общее кратное НОК (a ; b). Например, НОК (4 ; 6) = 12. Любое общее кратное произвольных чисел а и b делится на НОК (a ; b). Числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда НОК (a ; b) = a · b.

Слайд 6

Найдите НОД двух чисел: 1. 45 ; 135 2. 84 ; 168 3. 5 ; 60 Найдите НОК двух чисел: 1. 4 ; 5 2. 6 ; 7 3. 7 ; 8. задачи

Слайд 7

Понятие множества Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Множество можно представить себе как совокупность (собрание) некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку. Множество – понятие неопределяемое. Множество может состоять из чисел, предметов и т. д. Каждое число (предмет), входящее в множество, называется элементом множества. - это множество точек 3. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству А, записывается в виде а€ А. для множества однозначных чисел: А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} число 4 принадлежит А, а число 20 не принадлежит А

Слайд 8

Продолжение 4. Множество, которое не содержит элементов, называется пустым и обозначается символом Ø. 5. Если каждый элемент одного множества А является элементом другого множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В. Это выражается записью А с В. 6. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств (рис. 1) А В С Рис. 1

Слайд 9

7. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множеств А и В и только из них. Объединение множеств обозначают символом ں и пишут С = А ں В = { x | x € A или x € B (рис. 2) А В Вопрос: какое множество является объединением данных множеств? А = {1 ; 2 ; 5 ; 7} , B = {3 ; 5 ; 7 ; 8} 2. Н = {4 ; 7 ; 67 ; 34 ; 5 ; 2 }, M = {7 ; 89 ; 34 } 3. K = { 78 ; 89 ; 56 ; 90}, P = {87 ; 98 ; 65 ; 9}

Слайд 10

одночлены и многочлены Выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и натуральных степеней, называется одночленом. 2. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, 8x³y² - одночлен пятой степени. Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом или равные между собой, называются подобными. 3. Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен. Например, 1+ 2х² - 5х²у³ - многочлен пятой степени. 4. При взятии суммы многочленов надо привести подобные члены (слагаемые). Для этого достаточно сложить их коэффициенты и полученное число умножить на буквенное выражение.

Слайд 11

5. При взятии разности многочленов надо вычитаемый многочлен взять в скобки, далее раскрыть скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный, после чего привести подобные члены. Например, (4х² - 3х + 3) – (3х² - х + 2) = = 4х² - 3х + 3 – 3х² + х – 2 = х² - 2х + 1. 6. Чтобы умножить многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные произведения сложить. Деление многочлена на одночлен произведение по аналогичному правилу. 7. Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить. Например, 5х(х – у) + (2х + у)(х – у) = = 5х² - 5ху + 2х² + ху – 2ху - у² = 7х² - 6ху - у²

Слайд 12

Разложение многочленана множители При вынесения общего множителя за скобки выражение в скобках получается делением каждого члена многочлена на общий множитель. Например, 3ax³ - 6a²x + 12ax² = 3ax(x² - 2a + 12x) Решите самостоятельно: 1. ab + 2a – 3b – 6 2. 3(x – 2y)² - 3x + 6y

Слайд 13

формулы сокращённого умножения а 2 - в 2 = (а - в)(а + в) (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Обычно множества обозначают большими
буквами: A,B,X N ,…, а их элементы –
соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n…
В частности, приняты следующие обозначения:
ℕ – множество натуральных чисел;
ℤ – множество целых чисел;
ℚ – множество рациональных чисел;
ℝ – множество действительных чисел (числовая
прямая).
– множество комплексных чисел. И верно
следующее:
N Z Q R C

Как правило, элементы множества обозначаются
маленькими буквами, а сами множества - большими.
Принадлежность
элемента
m
множеству
M
обозначается так: m M, где знак является
стилизацией первой буквы греческого слова
(есть, быть),
знак непринадлежности:

Множества могут быть конечными, бесконечными и
пустыми.
Множество, содержащее конечное число элементов,
называется конечным.
Если множество не содержит ни одного элемента, то
оно называется пустым и обозначается Ø.
Например:
множество студентов 1курса - конечное множество;
множество звезд во Вселенной - бесконечное
множество;
множество
студентов,
хорошо
знающих
три
иностранных
языка
(японский,
китайский
и
французский), видимо, пустое множество.

Способы задания множеств

Существуют три способа задания множеств:
1) описание множества
Примеры: Y={yΙ1≤y ≤10} –множество значений у из
отрезка
X={xIx>2} – множество всех чисел х, больших 2.
2) перечисление множества
Примеры:
А={а,б,в}- три начальные буквы русского
алфавита
N={1,2,3…}-натуральные числа
3)графическое задание множеств происходит с
помощью диаграмм Эйлера-Венна

Заданы два множества:
и
Если элементов множеств немного, то
они могут на диаграмме указываться явно.

Множество А называют подмножеством множества В
(обозначается А В), если всякий элемент
множества А является элементом множества В:
см.рис 1.1
Рис. 1.1
При этом говорят, что В содержит А, или В покрывает А
Невключение множества С в множество В,
обозначается так:

Множества А и В равны (А=В) тогда и только
тогда, когда, А В и В А, т. е. элементы множеств
А и В совпадают.
Пример: А={1,2,3}, B={3,2,1}, C={1,2,3,3}- равны.
Множество С – это множество А, только в нем
элемент 3 записан дважды.
Пример: А={1,2}, B={1,2,3}- НЕ РАВНЫ
Семейством множеств называется множество,
элементы которого сами являются множествами.
Пример: А={{Ø},{1,2},{3,4,5}}- семейство, состоящее
из трех множеств.
Каждое непустое подмножество А≠ Ø имеет по
крайней мере два различных подмножества: само
множество А и Ø.

Множество
А
называется
собственным
подмножеством множества В, если А В, а В А.
Обозначается так: А В.
Например,
Принято считать, что пустое множество является
подмножеством любого множества.
Мощностью конечного множества М называется число
его элементов. Обозначается M
Например, B =6. A =3.

Операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А и В
(обозначается А В) называется множество С тех
элементов, каждый из которых принадлежит хотя
бы одному из множеств А или В. Возможны три
случая:
1) А=В;
2) множества имеют общие элементы;
3) множества не имеют общих элементов.
Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А В= {1,2,3}.

А В={1,2,3,4,5,6}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А В={1,2,3,4,6,8}

Рассмотренные случаи наглядно
проиллюстрированы на рисунке
А,В
А
В
А
В

Пересечением множеств А и В
называется новое множество С,
которое состоит только из элементов
одновременно принадлежащих,
множествам А, В
Обозначение С=А В
Возможны три случая:
1) А=В
2) множества имеют общие элементы
3) множества не имеют общих
элементов.

Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А В=
{1,2,3}.
2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда
А В={2,3}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А В=

Разностью множеств А и В называется
множество С, состоящее из элементов
принадлежащих только множеству А и
не принадлежащих В.
Обозначение: С=А\В

Даны два множества:
А={1,2,3,b,c,d},В={2,b,d,3}.
Тогда:
A B={1,2,3,b,c,d}
B подмножество А
А/В={1,c}
A B={2,3,b,d}

Свойства:
1. Коммутативность объединения А B=B A
2. Коммутативность пересечения А В=В А
3. Сочетательный закон A (B C)=B (A C)
4. То же и для пересечения.
5. Распределительный относительно пересечения
А (В C) = A В A С
6. Распределительный относительно объединения
А (B С) = (А B) (A C)
7. Закон поглощения А (A В)=А
8. Закон поглощения А (А B)=A
9. А A=А
10. A А=A

Декартовое (прямое) произведение А и В - это
новое множество С, состоящее из упорядоченных
пар, в которых первый элемент пары берется из
множества А, а второй из В.
А={1,2,3}
В={4,5}
С=А В = {(1,4);(1,5);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5)}
Мощность декартова произведения равна
произведению мощностей множеств А и В:
А В = А ∙ В

A B ≠ В А, кроме если А=В (в этом случае
равенство выполняется)
Дано:
Координатная числовая ось Х.х (- ,+).
Координатная числовая ось Y.у (- ,+).
D=Х Y
Декартовое произведение двух осей - точка
на плоскости.
Рассмотрим декартовое произведение,
которое обладает свойством
коммутативности. А={Иванов, Петров}
В={высокий, худой, сильный}
А В= Иванов высокий, Иванов худой,
Иванов сильный, Петров высокий, Петров
худой, Петров сильный

Урюпинский филиал ГБПОУ “Волгоградский медицинский колледж”

Слайд 2: Основные вопросы:

Понятие множества Способы задания множества Отношения между множествами Операции над множествами

Слайд 3

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель теории множеств – Георг Кантор (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв.

Слайд 4: Понятия теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так: Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Слайд 5

С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С, D. Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита.

Слайд 6: Примеры множеств:

множество учащихся в данной аудитории; множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени; множество точек данной геометрической фигуры; множество чётных чисел; множество корней уравнения х2-5х+6=0; множество действительных корней уравнения х2+9=0;

Слайд 7

понедельник вторник среда пятница суббота Дни недели

Слайд 8

Музыкальные инструменты

Слайд 9

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x  Х ( - принадлежит). В противном случае, если a не принадлежит множеству А, будем использовать обозначение : Если множество А является ч астью множества В, то записывают А  В ( - содержится).

10

Слайд 10

множество элемент Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр Натуральные числа 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двузначные четные числа Множество четырехугольников Пространственные тела 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… Квадраты чисел Цифры десятичной системы счисления 10, 12, 14, 16 … 96, 98

11

Слайд 11

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

12

Слайд 12

Обозначения некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I - множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел.

13

Слайд 13: Способы задания множеств

Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: A={студент А., рабочий Л., школьник М.}. 2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: « A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B ». Например, а – четное натуральное число. 3. Множество может быть задано указанием характеристического свойства его элементов, то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они: Здесь x  М означает, что элемент х является элементом известного множества. Запись Р(х) означает, что элемент х обладает свойством Р. Свойство Р(х) формулируется словами, символами или выражается с помощью уравнения или неравенства.

14

Слайд 14: Примеры

15

Слайд 15: Примеры

16

Слайд 16: Виды множеств:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

17

Слайд 17: Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ

Пример Множество гласных букв в слове “ математика ” состоит из трёх элементов – это буквы “ а ”, “ е ”, “ и ”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

18

Слайд 18: Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ

Пример Множество натуральных чисел бесконечно. Пример Множество точек отрезка бесконечно. Пример Множество атомов во Вселенной

19

Слайд 19: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком 

Пример Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0. Пример Множество людей, проживающих на Солнце.

20

Слайд 20: Мощность множества

Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и обозначают символом m (A) или |A|. Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.

21

Слайд 21: Пример. Определите мощность какого из множеств A = {1, 3, 5, 7, 9} или B = {2, 4, 6, 8} больше

Решение. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов. Так, если A = {1, 3, 5, 7, 9}, а B = {2, 4, 6, 8}, то m (A) = 5, а m (B) = 4 и потому m (A) > m (B).

22

Слайд 22: Отношения между множествами

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна). Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)

23

Слайд 23

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника

24

Слайд 24

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Эта зависимость между множествами называется включением. При этом пишут A  B, где  есть знак вложения подмножества.

25

Слайд 25: Свойства множеств

Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): A  B. Для любых множеств А,В,С справедливо свойство транзитивности: если и, то. Для всякого множества А пустое множество  является его подмножеством:   А

26

Слайд 26

Два множества А и В называются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. Примеры 1.,. Множества и состоят из одних и тех же элементов, поэтому они равные: А = В. 2. Множество решений уравнения есть множество чисел 2 и 3, то есть. Множество В простых чисел, меньших 5, также состоит из чисел 2 и 3, то есть.

27

Слайд 27: Количество подмножеств

Если мощность множества n, то у этого множества 2 n подмножеств. А= {1,2 } Подмножества А: {  }, { 1 }, { 2 }, { 1,2 }.

28

Слайд 28

В= {1,3,5 } Подмножества В: {  }, { 1 }, { 3 }, { 5 }, { 1,3 }, { 1,5 }, { 5,3 }, {1,3,5 } С= { а,и,е,о } Подмножества С: {  }, { а }, { и }, { е }, { о }, { а,и }, { а,е }, { а,о }, { и,е }, { и,о }, { е,о }, { а,и,е }, { а,и,о }, { а,е,о }, { и,е,о }, { а,и,е,о }. Количество подмножеств

29

Слайд 29: Операции над множествами

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. А ∩В= { х│ хєА и х єВ }

30

Слайд 30

Например, если А={ a, b, c }, B={ b, c, f, e }, то А ∩ В = { b } Операции над множествами пересечение

31

Слайд 31: Операции над множествами

32

Слайд 32

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А или В. Операции над множествами А U В= { х│хєА или х єВ }

33

Слайд 33: объединение

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А  B = {1,2,3,4,5,6} 1 2 4 А 4 3 5 6 В Операции над множествами

34

Слайд 34: Операции над множествами

35

Слайд 35: Операции над множествами

Разностью множеств А и В называется множество А- В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Операции над множествами

36

Слайд 36: разность

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А\В = {1,2} 1 2 4 А 4 3 5 6 В Операции над множествами

I . Понятие множества.

Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года. Основатель этой теории немецкий математик и философ Георг Кантор (1845–1918). Его заинтересовал вопрос, каких чисел больше – натуральных или действительных? В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.

Что же все-таки представляют собой множества? “Множество есть многое, мыслимое как единое” (Г. Кантор). Понятие множества настолько простое, принятое в повседневной жизни и перенесенное в математику, что оно не определяется, но может быть пояснено с помощью примеров: множество городов, множество государств, множество учащихся. Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами . В математике рассматривают только те множества, которые обладают четко определенными свойствами, состоят из элементов, имеющих некоторые общие свойства.

Есть несколько способов обозначения множеств. Можно переписать все элементы множества в фигурные скобки .

При этом мы наглядно видим, из каких элементов состоит множество. Но эта запись неудобна при описании множеств с большим числом элементов или множеств, число элементов которых невозможно перечислить полностью, то есть – бесконечных множеств. Например, невозможно записать все элементы множества чисел, которые делятся на 10. В этом случае множество записывается так:

.

Для удобства работы с множествами, их обозначают заглавной буквой.

Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и обозначается? . Например, множество крылатых китов, есть пустое множество.

Сами множества так же могут быть элементами множества

Пусть задано множество . Элемент 3 принадлежит множеству В , это обозначается так . Элемент 8 не принадлежит множеству В , это обозначается .

Упражнения

II. Равенство множеств.

Очень важной особенностью множества является то, что в нем нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколь угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим мы записали множество . В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет .

Рассмотрим два множества и . Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они и записаны в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак, два множества равны , если содержат одни и те же элементы.

Упражнения

III. Подмножество.

Рассмотрим множество дней в неделе. Запишем его .

Теперь отберем только рабочие дни. Они составляют множество .

Посмотрим, в каком соотношении находится множество R , учитывая его элементы, по отношению к множеству S . Можно заметить, что все элементы множества R входят в множество S . Значит, множество R является частью множества S или подмножеством . Следовательно, если каждый элемент какого-то множества R является в то же время элементом множества S , то можно сказать, что R – подмножество множества S . Обозначается это так . Само множество S так же является своим подмножеством. Очень важно отметить, что пустое множество является подмножеством каждого множества. Значит, если нам нужно выписать все подмножества множества , то мы запишем: .

Упражнения

1. Даны множества:

1. множество А учеников 5 класса нашей школы;
2. множество В всех учеников нашей школы;
3. множество С учеников 5 класса нашей школы, посещающих бассейн;
4. множество Е всех учащихся школ города Новокузнецка;
5. множество К учеников 5 математического класса нашей школы.

Верно ли что:

1. множество А есть подмножество множества В ;
2. множество А есть подмножество множества К ;
3. множество В есть подмножество множества Е ;
4. множество К есть подмножество множества С ;

Запишите с помощью знака I названия множеств в таком порядке, чтобы каждое следующее множество было подмножеством предыдущего множества.

2. Для множества выпишите все его подмножества.

IV. Пересечение множеств.

Рассмотрим два множества и . Составим новое множество С , в которое запишем общие элементы множеств А и В . Общими у них являются элементы 5 и 6, значит . Множество С называется пересечением множеств А и В . Обозначается так:

Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству А, и множеству В.

Пусть Р – множество учащихся математических классов нашей школы, К – множество учащихся пятых классов, тогда (пересечением множеств Р и К ) будет множество учащихся пятого математического класса.

У множеств и нет ни одного общего элемента, следовательно, их пересечение есть пустое множество О

Упражнения

1. Даны множества . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите , если а) ; б)

V. Объединение множеств.

Возьмем те же два множества и . Составим теперь множество Е следующим образом – запишем в него элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В . Получим множество . Множество Е называют объединением множеств А и В . Обозначается

Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Упражнения

1. Даны множества . Найдите: а ) ; б ) ; в ) ; г ) .

2. Найдите если и .

3. Даны множества . Найдите: а ) ; б ) ; в ) ;
г ) .

VI. Разность множеств.

Возьмем уже знакомые множества и . Составим новое множество Ф в которое запишем элементы множества А , не входящие во множество В . . Множество Ф называется разностью множеств А и В . Обозначается А \ В = Ф.

Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.

Важно заметить, что при вычитании множеств нельзя менять их местами. При нахождении разности В \ А в новое множество мы запишем элементы множества В , которые не принадлежат множеству А. Значит В \ А =.

Упражнения

Даны множества . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Найдите и если и .

Даны множества . Найдите: а) ; б) ; в) ;
г)

VII. Круги Эйлера.

Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707–1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые “очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления”. Эти круги и назвали кругами Эйлера . С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами. На рисунках представлены иллюстрации действий над множествами. Можно рисовать не только круги, но и овалы, прямоугольники и другие геометрические фигуры. ребят. Внутри “математического” круга М находятся 20 ребят, значит, в той части “биологического” круга, которая расположена вне круга М , находятся биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их человек, находятся в общей части кругов МБ . Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.

Ответ. 6 биологов увлекаются математикой.

Упражнения

1. В классе 29 учащихся. Каждый из них изучает хотя бы один язык – английский или немецкий. Английский язык изучают 18 человек, немецкий язык изучают 15 человек. Сколько человек изучают два языка и немецкий, и английский?
2. В классе 29 учащихся. Из них 16 занимаются музыкой, 21 посещают математический кружок; 4 не занимаются музыкой и не посещают математический кружок. Сколько учащихся посещают только математический кружок? Сколько математиков занимаются и музыкой?
3. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
4. В классе 38 человек. Из них 16 человек играют в баскетбол, 17 человек – в хоккей, 18 человек – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем 4 человека, баскетболом и волейболом 3 человека, волейболом и хоккеем 5 человек. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

Вопросы к тематическому зачету по теме
“Элементы теории множеств”

Необходимые умения: показывать пересечение, объединение, разность множеств на кругах Эйлера; находить пересечение, объединение, разность множеств, решать комбинированные примеры; решать простейшие задачи с помощью кругов Эйлера.